Правильная треугольная призма, развертка ее и площадь поверхности. Правильная треугольная призма: определение, формулы для площади поверхности и объема. Пример задачи Найти основание правильной треугольной призмы
Задача
Найти площадь правильной треугольной призмы , сторона основания которой 6 см, а высота - 10 см.Решение
.
Площадь правильного треугольника в основании призмы находится по формуле:
Принимаем во внимание первую формулу.
По условию задачи a = 6 см откуда S = √3 / 4 * 36 = 9√3
Поскольку у правильной треугольной призмы оснований два, то площадь оснований будет равна
9√3 * 2 = 18√3
Площадь каждой из граней будет равна 6 * 10 = 60, а поскольку граней три, то 60 * 3 = 180
Таким образом, площадь полной поверхности призмы будет равна 180 + 18√3 ≈ 211, 18 см кв.
Ответ : 180 + 18√3 ≈ 211,18
Задача
|
Сторона основания правильной треугольной призмы равна а , боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найти объем призмы . Решение . Поскольку призма треугольная, то боковых грани три, таким образом, площадь боковой поверхности можно найти по Формуле 1 Оснований у призмы два, поэтому их площадь равна двум площадям равностороннего треугольника со стороной а. Формула 2 По условию задачи они равны (Формула 3) Выразим из получившегося равенства высоту призмы (Формула 4) Подставим получившееся выражение в формулу объема призмы и найдем ответ (Формула 5) |
Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює а , бічна поверхня рівновелика сумі підстав. Знайти об"єм призми . Рiшення . Оскільки призма трикутна, то бічних грані три, таким чином, площу бічної поверхні можна знайти по Формулі 1 Основ в призми двi, тому їх площа дорівнює двом площам рівностороннього трикутника із стороною а. Формула 2 По умові завдання вони рівні (Формула 3) Виразимо з рівності, що вийшла, висоту призми (Формула 4) Підставимо вираження, що вийшло, у формулу об"єму призми і знайдемо відповідь (Формула 5) |
Правильная треугольная призма - призма, в основаниях которой лежат два правильных треугольника, а все боковые грани строго перпендикулярны этим основаниям.
Обозначения
- $ABCA_1B_1C_1$ - правильная треугольная призма
- $a$ - длина стороны основания призмы
- $h$ - длина бокового ребра призмы
- $S_{\text{осн.}}$ - площадь основания призмы
- $V_{\text{призмы}}$ - объем призмы
Площадь оснований призмы
В основании правильной треугольной призмы лежит правильный треугольник со стороной $a$. По свойствам правильного треугольника $$ S_{\text{осн.}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2 $$ Таким образом, получается, что $S_{ABC}=S_{A_1B_1C_1}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2$.Объем призмы
Объем призмы вычисляется как произведение площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной призмы является любое из ее боковых ребер, например, ребро $AA_1$. В основании правильной треугольной призмы находится правильный треугольник, площадь которого нам известна. Получаем $$ V_{\text{призмы}}=S_{\text{осн.}}\cdot AA_1=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2 \cdot h $$Находим BD
BD является высотой правильного треугольника со стороной $a$, лежащего в основании призмы. По свойствам правильного треугольника $$ BD=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a $$ Аналогичным образом, приходим к заключению, что длины всех остальных диагоналей оснований призмы равны $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a$.Находим $BD_1$
В треугольнике $DBD_1$:- $DB=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a$ - как мы только что выяснили
- $DD_1=h$
- $\angle BDD_1=90^{\circ}$ - потому что прямая $DD_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$
Находим $BC_1$
В треугольнике $CBC_1$:- $CB=a$
- $CC_1=h$
- $\angle BCC_1=90^{\circ}$ - потому что прямая $CC_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Во всех школах в старших классах проходят курс стереометрии, в котором рассматривают характеристики различных пространственных фигур. Данная статья посвящена изучению свойств одной из таких фигур. Рассмотрим, что такое правильная треугольная призма.
Призма в геометрии
Согласно стереометрическому является объемной фигурой, состоящей из n параллелограммов и двух одинаковых n-угольных оснований, где n - это целое положительное число. Оба основания расположены в параллельных плоскостях, а параллелограммы соединяют попарно их стороны в единую фигуру.
Любую призму можно получить следующим способом: следует взять плоский n-угольник и переместить его параллельно самому себе в другую плоскость. В процессе перемещения вершины n-угольника прочертят n отрезков, которые будут боковыми ребрами призмы.
Призмы могут быть выпуклыми и вогнутыми, прямыми и косоугольными, правильными и неправильными. Все эти виды фигур отличаются друг от друга формой n-угольников в основании, а также их расположением относительно перпендикулярного им отрезка, длина которого является высотой призмы. Ниже рисунок демонстрирует набор призм с разным числом углов в основании и количеством боковых граней.
Правильная треугольная призма
Первая призма на фотографии выше является правильной треугольной. Она состоит из двух одинаковых равносторонних треугольников и из трех прямоугольников. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому рассматриваемая фигура удовлетворяет изложенному ранее стереометрическому определению.
Помимо пяти граней, треугольная призма образована шестью вершинами, которые принадлежат обоим основаниям, и девятью ребрами, три из которых являются боковыми.
Важным свойством правильной треугольной призмы является то, что ее высота совпадает с длиной бокового ребра. Все эти ребра равны друг другу, а боковые прямоугольники пересекают основания под прямыми углами. Отметим, что прямые между основаниями и боковыми гранями приводят к тому, что параллелограммы наклонной призмы становятся прямоугольниками в прямой фигуре. Очевидно, что при определенных длинах ребер прямоугольники могут стать квадратами.
Важными свойствами любой объемной фигуры являются площадь ее поверхности и заключенный в ней объем пространства. Изучаемая призма не является исключением, поэтому рассмотрим ее подробные характеристики.
Площадь поверхности
Площадь правильной треугольной призмы образована площадями всех ее пяти граней. Известно, что площадь пространственных фигур проще рассматривать и изучать на плоскости, поэтому удобно сделать развертку призмы. Она показана ниже.
Развертка представлена пятью фигурами двух типов, которые в призме являлись гранями.
Для определения площади всех этих фигур введем следующие обозначения: будем считать длину стороны основания равной a, а высоту (длину бокового ребра) равной h. С учетом обозначений получаем площадь одного треугольника:
При записи этой формулы использовалось стандартное выражение для площади треугольника. Площадь одного прямоугольника равна:
С учетом числа треугольников и прямоугольников (см. развертку выше) получим формулу для площади полной поверхности изучаемой геометрической фигуры:
S = 2 × S 3 + 3 × S 4 = √3 / 2 × a 2 + 3 × a × h
Здесь первый член в правой части равенства описывает площадь двух оснований, второй член позволяет вычислить площадь поверхности боковой.
Напомним, что полученная для S формула справедлива только для прямой правильной треугольной призмы. Если бы мы рассматривали наклонную фигуру, то выражение для S имело бы другой вид.
Формула для определения объема фигуры
Объемом любой пространственной фигуры называется та часть пространства, которую ограничивают грани многогранника. Объем любой призмы, независимо от формы ее основания и боковых сторон, может быть определен по следующей формуле:
То есть достаточно умножить площадь одного основания на высоту всей фигуры, чтобы получить искомое значение объема.
Для случая треугольной правильной призмы получаем следующее выражение для V:
V = S 0 × h = S 3 × h = √3 / 4 × a 2 × h
Записанная формула для V, а также выражение для S в предыдущем пункте зависят всего от двух параметров фигуры: длин a и h. То есть знание всего двух любых линейных параметров позволяет рассчитать все свойства изучаемой призмы.
Решение задачи
В физике треугольная правильная призма, изготовленная из сплошного стекла, часто применяется для разложения электромагнитного потока в видимой области спектра на ряд частот с целью их изучения. Необходимо определить, какой объем стекла понадобится, чтобы изготовить призму с площадью поверхности 300 см 2 и длиной стороны основания 10 см.
Сначала определим высоту призмы h. Воспользуемся формулой для S, имеем:
S = √3 / 2 × a 2 + 3 × a × h =>
h = (S - √3 / 2 × a 2) / (3 × a) = (300 - √3 / 2 × 10 2) / (3 × 10) = 7,11 см
Поскольку мы знаем значения a и h, то для определения объема призмы воспользуемся формулой для V:
V = √3 / 4 × a 2 × h = √3 / 4 × 10 2 × 7,11 = 307,87 см 3
Таким образом, чтобы изготовить описанную призму, понадобится около 308 см 3 стекла.
Школьникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, обязательно стоит научиться решать задачи на нахождение площади прямой и правильной призмы. Многолетняя практика подтверждает тот факт, что подобные задания по геометрии многие учащиеся считают достаточно сложными.
При этом уметь находить площадь и объем правильной и прямой призмы должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.
Основные моменты, которые стоит запомнить
- Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, она называется прямой. Все боковые грани этой фигуры являются прямоугольниками. Высота прямой призмы совпадает с ее ребром.
- Правильной является призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию, в котором находится правильный многоугольник. Боковые грани этой фигуры - равные прямоугольники. Правильная призма всегда является прямой.
Подготовка к единому госэкзамену вместе со «Школково» - залог вашего успеха!
Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь представлен весь необходимый материал, который поможет подготовиться к прохождению аттестационного испытания.
Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы, теоремы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.
Базовая информация систематизирована и понятно изложена в разделе «Теоретическая справка». Если вы уже успели повторить необходимый материал, рекомендуем вам попрактиковаться в решении задач на нахождение площади и объема прямой призмы. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений различной степени сложности.
Попробуйте рассчитать площадь прямой и правильной призмы или прямо сейчас. Разберите любое задание. Если оно не вызвало сложностей, можете смело переходить к упражнениям экспертного уровня. А если определенные трудности все же возникли, рекомендуем вам регулярно готовиться к ЕГЭ в онлайн-режиме вместе с математическим порталом «Школково», и задачи по теме «Прямая и правильная призма» будут даваться вам легко.
